今回は、算数が苦手な親御さん向けに「誰も教えてくれない場合の数がわかる２つのポイント」を説明したいと思います。
「場合の数がわからない」と子どもに質問されたときに、親として押さえておきたいポイントがあります。
「算数が苦手な親御さん向け」ですので、わかりやすく解説します。
ぱぱりん「場合の数」は抽象的で理解しにくいです。子供に質問されても答えるのが難しかしい分野です。
「場合の数」に必要な２つのポイントがわかればウソのように解けるようになるので是非ご一読ください。
「場合の数」とは、
１、２、３、４、５の５つの数字から三つ選んで３桁の数字を作るとき、何通りありますか？
というような問題です。
「何通りありますか？」
で問われる問題です。
このような問題が難しい点は、
✅ 力技で書き出すしか解答法が思いつかない
✅ 答えが出たとしても漏れや重複がある可能性
などが挙げられます。
最初は力技で書き出すことでもよいのですが、テストともなると時間制限があるので書き出しているだけで終わってしまいます。
できればすべてを書き出さずにスマートに解きたいと思っているがなかなかできません。
また、この問題は解けたけど、似たようなあの問題はなぜか解けないという事態にも陥ります。
つまり、
✅ 本質がわかっていないので正解を得るための再現性が低い
ということになってしまいます。
ぱぱりん「再現性が低い」は天才でない限り誰もが壁にぶち当たります。私も「場合の数」の２つのポイントを理解するまで得点が安定しませんでした。
「場合の数」は、難関校ではよく出題されるだけでなく、大学受験でも難関大学でよく出題されます。
苦手意識があるまま中学受験を終えると、中学、高校になってもなかなか苦手意識から抜け出せずにずっと不得意分野にもなりえます。
しかし、子どもから「この問題がわからない」と言われても親が理解していないと解答を読むだけでは子どももなかなか理解できません。
また、親が教えようと解答を必死になって教えても、その問題はわかったつもりになっても、似たような問題が新たに出題されるとできないということがよくあります。
それは、
大事なポイントを押さえられてない
ことに起因します。
では、大事な２つのポイントとは何でしょうか？
早速、結論から言ってしまいます。
✅ 対象が区別できるのか区別できないのか
✅ 選ぶだけなのか、並べる必要があるのか
これだけです。これだけ理解するとスッと問題が解けるようになってきます。
ぱぱりん初めて子どもに場合の数を教えたときに、まずこの２つのポイントを意識するようにさせました。
その結果、すっと理解できたようで問題を解けるようになり、場合の数に苦手意識はないようです。
算数が嫌いな人からしたら、「何言ってるねん！？」って言われそうですが、安心してください。
いまから例題を使いながらわかりやすく説明します。
対象が区別できるのかできないのか
具体的に例示しながら説明していきます。
例１：対象が区別できない問題
リンゴ３個、みかん２個から３個選んでもらえます。もらい方は何通りありますか？
これは、「対象が区別できない」問題になります。
つまり、リンゴ３個はそれぞれリンゴA、リンゴB、リンゴCというように区別できません。
同様に、みかん２個もそれぞれみかんA、みかんBというように区別はできません。
リンゴもみかんもそれぞれ『同じ』と考えます。
ぱぱりんリンゴにはジョナゴールド、陸奥など種類があるから違うというような屁理屈はなしです。
当たり前すぎますが、区別できるかできないかで考え方が大きく変わってしまうのです。
「対象が区別できない」ものなので、３個のリンゴからどのリンゴを選ぼうが同じです。また、２個のみかんからどのみかんを選んでも同じです。
ですから、３個選ぶ方法は、
（リンゴ、リンゴ、リンゴ）（リンゴ、リンゴ、みかん）（リンゴ、みかん、みかん）（みかん、みかん、みかん）
の４通りになります。
例２：対象が区別できる問題
男の子３人、女の子２人がいます。その中から３人選ぶとき何通りありますか？
これは、対象が「区別できる」問題になります。
男の子、女の子はそれぞれ区別できます。
リンゴやみかんのように、まったく同じではないからです。
つまり、男の子は男A、男B、男Cというように区別しないといけません。
また、女の子も女D、女Eというように区別する必要があります。
その前提で考えるとわかりやすくなります。
男の子３人と女の子２人の合計５人から自由に３人を選ぶだけの問題ですから、
A、B、C、D、Eの５つから３つを選ぶ
という問題と同じです。
書き出すと
（ABC)、（ABD)、（ABE）、（ACD）、（ACE)、（ADE）、（BCD)、（BCE)、（BDE)、（CDE)の１０通り
となります。
コンビネーショ（組み合わせ）を使うと5C3と簡単に計算できるのですが、別で解説したいと思います。
ぱぱりん区別できるかできないかで考え方が大きく変わります。
大事なポイントなので必ず意識するようにしましょう。
区別できないものの代表的なものに、果物などの『もの』以外にも
✅ 色
✅ 数字
✅ カード
があります。
例３：対象が「区別できない」と指定される問題
また、問題によっては「区別のつかない〇〇」というように指定してくることがあります。
例えば、
同じ大きさの区別のつかないサイコロが3つあります。それらを同時に投げる時、出る目は何通りありますか？
というような問題です。
「区別がつかない」がポイントです。
これは、サイコロの形や大きさが全くおなじで区別がつかないということです。
すなわち、サイコロA、サイコロB、サイコロCというような区別はできません。
ですから、単純に出る目だけに注目することが必要です。
つまり、サイコロは１～６の６つの数字がありますから、その６つの数字から３つ選ぶ（重複可）という問題に言い換えられます。
書き出すと、
（１，１，１）（１，１，２）（１，１，３）（１，１，４）（１，１，５）（１，１，６）
（１，２，２）（１，２，３）（１，２，４）（１，２，５）（１，２，６）
（１，３，３）（１，３，４）（１，３，５）（１，３，６）
（１，４，４）（１，４，５）（１，４，６）
（１，５，５）（１，５，６）
（１，６，６）
→２１通り
（２，２，２）（２，２，３）（２，２，４）（２，２，５）（２，２，６）
（２，３，３）（２，３，４）（２，３，５）（２，３，６）
（２，４，４）（２，４，５）（２，４，６）
（２，５，５）（２，５，６）
（２，６，６）
→１５通り
（３，３，３）（３，３，４）（３，３，５）（３，３，６）
（３，４，４）（３，４，５）（３，４，６）
（３，５，５）（３，５，６）
（３，６，６）
→１０通り
（４，４，４）（４，４，５）（４，４，６）
（４，５，５）（４，５，６）
（４，６，６）
→６通り
（５，５，５）（５，５，６）
（５，６，６）
→３通り
（６，６，６）
→１通り
の合計５６通りとなります。
３つの数字は選んで区別はしないので、（１，２，３）も（１，３，２）も（２，１，３）も（２，３，１）も（３，１，２）も（３，２，１）も同じものと判断します。
ぱぱりん選ぶだけなので順番は関係ないのです。
また、すべてを書き出す方法は、上のように、「漏れないよう、重複ないよう」きれいに書き出していきましょう。
３つの場合を考えましょう。
①選ぶ数字が全部違うとき→（１，２，３）のようなときです。
６個の数字から重複なしで３個を選ぶので、２０通りとなります。
書きだすと、
（１，２，３）（１，２，４）（１，２，５）（１，２，６）
（１，３，４）（１，３，５）（１，３，６）
（１，４，５）（１，４，６）
（１，５，６）
（２，３，４）（２，３，５）（２，３，６）
（２，４，５）（２，４，６）
（２，５，６）
（３，４，５）（３，４，６）
（３，５，６）
（４，５，６）
の２０通りとなります。
コンビネーションを使うと6C3＝６×５×４／３×２×１＝２０通りとなります。
②同じ数字が２つ、それとは別の数字が１つのとき→（１，１，２）という場合です。
書き出すと、
（１，１，２）（１，１，３）（１，１，４）（１，１，５）（１，１，６）
（２，２，１）（２，２，３）（２，２，４）（２，２，５）（２，２，６）
（３，３，１）（３，３，２）（３，３，４）（３，３，５）（３，３，６）
（４，４，１）（４，４，２）（４，４，３）（４，４，５）（４，４，６）
（５，５，１）（５，５，２）（５，５，３）（５，５，４）（５，５，６）
（６，６，１）（６，６，２）（６，６，３）（６，６，４）（６，６，５）
となり、３０通りになります。
計算でやると、同じ数字となるものは１～６の６通りあり、残り1つの数字の選びかたは重複する数字以外なので５通りとなりますから、６×５＝３０通りとなります。
ぱぱりんコンビネーションや掛け算で算出する方法は別記事で説明します。
③全部同じ数字の場合→（１，１，１）のようなときです。
書き出すと
（１，１，１）（２，２，２）（３，３，３）（４，４，４）（５，５，５）（６，６，６）
の６通りとなります。
よって①＋②＋③をすると、最初の解き方と同じ５６通りになります。
いきなり書き出すよりは、重複や漏れが少なくなると思います。
例４：対象が「区別できる」と指定される問題
それでは、区別がつくサイコロを考えてみましょう。
大きさが大、中、小のサイコロが3つあります。それらを同時に投げる時、出る目は何通りありますか？
という問題はどうでしょうか？
ポイントは、大、中、小とサイコロが区別できる点です。
ぱぱりん大きさが違うので人と同じように区別ができます。
区別できないサイコロでは、
６つの数字から３つ選ぶ（重複可）
という問題に言い換えられました。
しかし、区別できるサイコロでは、（大、中、小）の目の出方がそれぞれ独立しています。
つまり、
区別できない場合は、（１，２，３）も（１，３，２）も（２，１，３）も（２，３，１）も（３，１，２）も（３，２，１）も同じものと判断するので１通りとなりますが、
区別できる場合は、（１，２，３）と（３，２，１）は異なるものとカウントします。
ですから、
・大の目の出方は６通り
・中の目の出方も６通り
・小の目の出方も６通り
あり、出た目は同じ数字でも区別できるものと判断できるので、目の出方は６×６×６＝２１６通りになります。
＊書き出すと大変ですので、計算でだしました。
書き出すのならば、表がいいかもしれません。
| 大 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | … |
| 中 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | … |
| 小 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
書き出す場合でも、大が１の場合は、中と小は３６通りあるので、大が２のときも同様に３６通り、大が３，４，５，６の時も３６通りあるので３６×６と子どもに説明しても理解してくれると思います。
上記のように、まずは区別できるのか、区別できないのかを意識して問題を解く前に明確にしてから解き始めましょう。
対象が区別できるのか、区別できないのか明確にすることがポイント
ぱぱりんこれを意識するだけでも、もやもやした感じがすっきりしますし、子どもも理解してくれやすいです。
選ぶだけなのか、並べる必要があるのか
もうおなか一杯な方ももう少しお付き合いください。
あとちょっとです。
さっそく例題から見ていきましょう。
例題５：並べる問題
１、２、３、４、５が書かれた５枚のカードがあります。この５枚から３枚を選んで３桁の数字を作る方法は何通りですか？
よくある問題です。
ポイントは、
３枚選んでから３桁の数字を作る
というところです。
「３桁の数字を作る」
すなわち、
「３つの数字を選んで並べる」
というのがポイントです。
ぱぱりん「選ぶだけ」なのか「選んで並べるのか」それがポイントだ！
選ぶだけならば、１と２と３というカードを選んだ時、
選ぶ順番は全く関係ないので、（１，２，３）も（１，３，２）も（２，１，３）も（２，３，１）も（３，１，２）も（３，２，１）も同じで１通りと判断します。
しかし、選んで並べる場合、
１２３、１３２、２１３、２３１、３１２、３２１
の６通りの3桁の数字ができることになるのです。
「選ぶだけ」と「並べる」では、考え方が全然違う
３つの数字の選び方は、全部で
（１，２，３）（１，２，４）（１，２，５）（１，３，４）（１，３，５）（１，４，５）
（２，３，４）（２，３，５）（２，４，５）
（３，４，５）
の１０通りあり、それぞれ並べ方は６通りあるので１０×６＝６０通りとなります。
書き出す方法は大変なので、以下のように考えたら楽です。
100の位の数字は、１～5の5通り
10の位の数字は、「100の位の数字」を除いた4つの数字から1つ選ぶので４通り
1の位の数字は、「100の位と10の位で使った数字」を除いた3つの数字から１つ選ぶので3通り
以上より、5×4×3＝６0通りとなります。
例題6：選ぶだけの問題
１、２、３、４、５が書かれた５枚のカードがあります。この５枚から３枚を選ぶ方法は何通りありますか？
ただ選ぶだけです。
ですから、選ぶ順番は関係ないので、
（１，２，３）も（１，３，２）も（２，１，３）も（２，３，１）も（３，１，２）も（３，２，１）も同じで１通りと判断します。
ですから、
３つの数字の選び方は、全部で
（１，２，３）（１，２，４）（１，２，５）（１，３，４）（１，３，５）（１，４，５）
（２，３，４）（２，３，５）（２，４，５）
（３，４，５）
の１０通りとなります。
コンビネーション（組み合わせ）を使うとより楽になります。
5C3＝５×４/２×１＝１０通り
ということになります。＊コンビネーションは別記事で説明します。
ぱぱりんコンビネーション（組み合わせ）とかわけわからないこと言っているとお叱りを受けそうですが、中学受験生は使いこなしているんです。
浜学園の最高レベル特訓という講座などでは、頻繁にコンビネーションを使って問題を解いています。
長男もコンビネーションを多用して問題を解いています。
より上位層に食い込むためにはコンビネーション(C)は必要な技術になります。
とにかく大事なことは、
選ぶだけなのか、選んで並べるのかしっかり把握すること
です。
やみくもに問題を解いても、ある時は正解するかもしれませんが、ある時は不正解となります。
まさに「再現性」がなく、成績は安定しません。
上記のポイントをしっかり押さえて、問題に取り組むようにしましょう。
まとめ
場合の数が苦手なお子さんに質問されたときにどのように教えるべきか、大事なポイント２つを解説しました。
✅ 対象が区別できるのか区別できないのか
✅ 選ぶだけなのか、並べる必要があるのか
本当にこれだけでだいぶ理解が変わります。
ぱぱりん長男にも次男にもまずはこの考えを教えました。
すると、まずは問題ごとにどのパターンなのか認識してから解き始めるようになり成績も安定してきました。
灘中学や最難関校だとこうも単純ではありませんが、この考えが前提で必要となってきます。
できる子は無意識にこれらを理解していると思いますが、理解できていないお子さんや初めて接する場合の理解のきっかけとして役立つと思います。
中学受験は、独特で、方程式が使いにくいために、比を多用したり、つるかめ算、旅人算など特殊な解法がたくさんあるように見えますが、そのポイントを抑えられれば本質的に理解がすすみ再現性をもって得点できるようになります。
ぱぱりんいかにポイントを上手に教えて、再現性を高くしていくかが大事になってきます。
はじめはよくわからない解き方でも、ポイントを押さえさせ、解ける喜びを感じ、再現性をもって得点できるようになるとぐいぐい伸びてきます。
そのためにも親がいかに理解しているかも重要ですね。
次回は、少しずつ応用問題を解いていってみましょう。
積み重ねで最難関レベルも解けるようになってきます。
最後までお読みいただきありがとうございました。
少しでも参考にしていただければ幸いです。
算数の成績を上げる方法については、他の記事も参考にしてください。
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